Without a title

геаметрыя

прынцып Кавальери

У выдавецтве "Навука і тэхніка" выйшаў новы падручнік для гуманітарных класаў "Геаметрыя, 10-11".

Аўтар падручніка - дацэнт кафедры методыкі выкладання матэматыкі МПГУ, доктар педагагічных навук Ірына Міхайлаўна с╝и╡нова - дасведчаны метадыст з вялікім стажам выкладання ў школе, у тым ліку ў гуманітарных класах.

Падручнік ахоплівае ўсе асноўныя тэмы праграмы па геаметрыі для 10-11-х класаў. Аднак у параўнанні з традыцыйным курсам стэрэаметрыі ў дадзеным падручніку матэрыял выкладзены больш абагульнена. Скарочана колькасць завучваць тэарэм з доказамі і задач, звязаных з тэхнікай вылічэнняў. Большасць задач, як і ўвесь курс, накіраваны на развіццё прасторавага ўяўлення навучэнцаў.

Побач з класічнымі тэмамі аўтар уводзіць матэрыял, які мае велізарнае якое развівае значэнне: гісторыя развіцця геаметрыі, яе прыкладное значэнне ( "Аб форме і памерах Зямлі", "Крышталі - прыродныя шматграннік", "Мнагаграннікі ў задачах аптымізацыі"), сувязь геаметрыі з архітэктурай і жывапісам ( "Залатое сячэнне", "Сіметрыя прасторавых фігур"), перспектыўныя напрамкі сучаснай геаметрыі ( "тапалагічная правільныя шматграннік", "Палярныя каардынаты", "Сферычныя каардынаты").

Ілюстрацыйны матэрыял падручніка, арганічна звязаны з апавяданнем, ўключае, акрамя абавязковых па геаметрыі чарцяжоў, цэлы шэраг рэпрадукцый шэдэўраў архітэктуры, скульптуры, жывапісу, малюнка.

Традыцыйныя тэмы аўтар раскрывае часам нечаканым чынам. Так, у дзеючых падручніках па стэрэаметрыі пры вывадзе формул обьемы прастакутнага паралелепіпеда, піраміды, шара прымяняецца складаны матэматычны апарат, заснаваны на выкарыстанні паняцця мяжы і інтэгральнага вылічэння, што робіць гэты матэрыял цяжкадаступных для вучняў гуманітарных класаў. Аўтар прапануе выкарыстоўваць замест гэтага так званы прынцып Кавальери, які з'яўляецца досыць наглядным і які дазваляе вывесці ўсе неабходныя формулы обьемы без выкарыстання паняцця мяжы або інтэгральнага вылічэння. Ніжэй прыводзім кароткае выклад тэмы "обьемы прасторавых фігур".

Таццяна Бурмістрава, зав.редакцией матэматыкі выдавецтва "Навука і тэхніка"

1. Аб'ём фігур у прасторы. обьем цыліндру

Тут разглядаецца праблема вымярэння обьемы прасторавых фігур. Адзначаецца яе даўняя гісторыя, прыводзяцца розныя адзінкі вымярэння обьем. Обьем прасторавай фігуры вызначаецца як лік, якое паказвае, колькі разоў адзінка вымярэння аб'ему ўкладаецца ў дадзенай постаці. Паказваецца, што лік можа быць натуральным, рацыянальным ці нават сапраўдным, але абавязкова неадмоўнага. Пералічваюцца ўласцівасці аб'ему, якія могуць прымацца за аксіёмы:

- обьем фігуры ў прасторы з'яўляецца неадмоўнага лікам;

- обьем куба з рабром 1 роўны адзінцы;

- роўныя фігуры маюць роўныя обьемы;

- калі фігура F складзена з двух фігур F1 і F2, то обьем фігуры F роўны суме обьемы фігур F1 і F2.

Затым разглядаецца пытанне аб вылічэнні аб'ему прамога цыліндру, падставай якога служыць фігура F плошчы S, і вышыня цыліндру роўная h. Паколькі адзінка вымярэння плошчы ўкладаецца ў падмурак S раз, а адзінка вымярэння даўжыні ўкладваецца ў вышыні h раз, то з гэтага робіцца выснова, што адзінка вымярэння аб'ему павінна ўкладвацца ў цыліндры Sh раз, г.зн. формула аб'ему прамога цыліндру мае выгляд:

V = Sh

У прыватнасці, обьем прастакутнага паралелепіпеда з рэбрамі a, b, c вылічаецца па формуле V = abc

Обьем прамой прызмы з плошчай падставы S і вышынёй h вылічаецца па формуле V = Sh

Обьем прамога кругавога цыліндру, вышыня якога роўная h і радыус падставы R, вылічаецца па формуле V = pR2.h.

задачы

Рэбры прастакутнага паралелепіпеда роўныя 3,4 м, 4,5 м і 2,1 м. Знайдзіце обьем паралелепіпеда.

Выкарыстоўваючы ўласцівасці аб'ему, пакажыце, што калі фігура F1 змяшчаецца ў постаці F, то мае месца няроўнасць V (F1) <= V (F).

Знайдзіце формулу аб'ему правільнай n-вугальнай прызмы са бокам падставы а і вышынёй h.

Праз кропку акружнасці падставы прамога кругавога цыліндру з радыусам падставы R праведзена плоскасць пад вуглом [[Greekj]] да гэтага падставы і перасякалая бакавую паверхню цыліндру. Знайдзіце обьем частцы цыліндру, адсякаецца гэтай плоскасцю.

Прадстаўляючы куб з рабром а, складзеным з правільных чатырох-вугальных пірамід з вяршынямі ў цэнтры куба, знайдзіце обьем адной з такіх пірамід.

2. Прынцып Кавальери

Прынцып Кавальери фармулюецца наступным чынам:

Калі пры скрыжаванні двух фігур у прасторы плоскасцямі, паралельнымі адной і той жа плоскасці, у перасеках атрымліваюцца фігуры аднолькавай плошчы, то обьемы зыходных прасторавых фігур роўныя.

Для абгрунтавання прынцыпу прадставім фігуры F1 і F2 складзенымі з тонкіх слаёў аднолькавай таўшчыні, якія атрымліваюцца ў перасеках фігур F1 і F2 паралельнымі плоскасцямі.

Лічачы пласты прамымі цыліндрамі, з роўнасці плошчаў іх падстаў і роўнасці вышынь атрымліваем, што роўныя і обьемы адпаведных слаёў. Такім чынам, роўныя і обьемы фігур F1 і F2, складзеныя з гэтых слаёў.

Ужываючы гэты прынцып, знойдзем обьем нахільнага цыліндру з падставай F плошчы S і вышынёй h. Для гэтага разгледзім прамой цыліндр з такой жа падставай і вышынёй і размесцім гэтыя цыліндры так, каб іх падставы знаходзіліся ў адной плоскасці. Тады перасеку гэтых цыліндраў плоскасцямі, паралельнымі гэтай плоскасці, дадуць фігуры, роўныя постаці F. Такім чынам, гэтыя перасеку маюць роўныя плошчы. Па прынцыпе Кавальери, адсюль вынікае роўнасць обьемы цыліндраў, і, значыць, для аб'ему нахільнага цыліндру мае месца формула V = Sh, дзе S - плошча падставы, h - вышыня.

Выкарыстоўваючы прынцып Кавальери, аналагічным чынам паказваюць, што калі два конусу маюць роўныя вышыні і падставы роўнай плошчы, то яны маюць і роўныя обьемы. (Пад конусам разумеецца прасторавая фігура, утвораная адрэзкамі, якія злучаюць кропкі некаторай плоскай фігуры F, званай падставай конусу, і кропкай N, званай вяршыняй конусу, якая ляжыць па-за плоскасці падставы).

задачы

Знайдзіце формулу аб'ему нахільнай прызмы, плошча падставы якой роўная S, а бакавое рабро b нахілена да плоскасці падставы пад вуглом [[Greekj]].

Знайдзіце формулу аб'ему нахільнага кругавога цыліндру, радыус падставы якога роўны R, а утваральная L нахіленая да плоскасці падставы пад вуглом [[Greekj]].

Хай у перасеках прасторавых фігур F1 і F2 паралельнымі плоскасцямі атрымліваюцца фігуры F1 і F2, прычым плошчы фігур F1 ў k разоў больш адпаведных плошчаў фігур F2. Як звязаныя паміж сабой обьемы фігур F1 і F2? Абгрунтуйце сваю выснову.

3. Аб'ём конусу

Тут выводзіцца формула аб'ему конусу, і ў прыватнасці формулы обьемы піраміды і кругавога конуса. Спачатку разглядаецца выпадак трохкутнай піраміды. Хай АВСА1 - трохкутная піраміда. Дабудуем яе да трохкутнай прызмы АВСА1В1С1.

Плоскасці, якія праходзяць праз кропкі Ў, З, А1 і С, В1, А1, разбіваюць гэтую прызму на тры піраміды АВСА1, СВВ1А1, СВ1С1А1 з вяршынямі ў кропцы А1. Піраміды СВВ1А1, СВ1С1А1 маюць роўныя падставы СВВ1, СВ1С1, так як дыяганаль СВ1 разбівае паралелаграм СВС1В1 на два роўных трохвугольнік. Акрамя гэтага, у гэтых пірамід агульная вяршыня і, такім чынам, агульная вышыня. Значыць, гэтыя піраміды маюць роўныя обьемы. Піраміды АВСА1 і СВ1С1А1 таксама маюць роўныя падставы АВС, А1В1С1 і роўныя вышыні. Значыць, гэтыя піраміды таксама маюць роўныя обьемы. Такім чынам, обьемы ўсіх трох пірамід роўныя. Улічваючы, што обьем прызмы роўны твору плошчы падставы на вышыню, атрымліваем формулу аб'ему трохкутнай піраміды:

V = 1 / 3.Sh, дзе S - плошча падставы, h - вышыня.

Разгледзім цяпер адвольны конус з плошчай падставы S і вышынёй h. Пакажам, што яго обьем таксама выяўляецца формулай V = 1 / 3.Sh Для гэтага возьмем якую-небудзь трохкутную піраміду з падставай плошчы S і вышынёй h. Гэтая піраміда і конус маюць роўныя обьемы, і, значыць, патрабаваная формула выконваецца. У прыватнасці, гэтая формула справядлівая для шматкутнай піраміды і кругавога конуса.

задачы

Знайдзіце формулу аб'ему правільнай n-вугальнай піраміды са бокам падставы а і вышынёй h.

Знайдзіце формулу аб'ему правільнай n-вугальнай піраміды са бокам падставы а і бакавым рубам b.

Знайдзіце формулу аб'ему кругавога конуса вышынёй h і радыусам падставы R.

Знайдзіце формулу аб'ему ўсечанага конусу з падставамі плошчы S1 і S2 і вышынёй h.

Знайдзіце обьем тэтраэдра з рабром, роўным адзінцы.

Знайдзіце обьемы іншых правільных шматкантовікаў з рэбрамі, роўнымі адзінцы.

Рэцэпты "Акадэміі"

Не сакрэт, што толькі 10-15% выпускнікоў школ могуць лічыцца сёння "практычна здаровымі". А як вылечыць грамадства, у якім амаль няма здаровых дзяцей?

Адзін з рэцэптаў - падрыхтоўка настаўнікаў, здольных працаваць у новых умовах. Але любая педагагічная тэорыя, тэхналогія з часам ўвасабляецца ў падручніку. Спачатку - для настаўніка, потым - для вучня. І тым больш дзіўна, што за апошнія 10 гадоў для 362 расійскіх педкаледжу і педвучылішча амаль нічога не выдавалася! Былыя тыражы - 300-900 тыс. Экзэмпляраў ўпалі да 10-15 тысяч і сталі нявыгаднымі. Навучанне студэнтаў ідзе па старых, якія захаваліся яшчэ з 80-х гадоў дапаможніках. А бо выпускнікі педвучылішча - гэта тыя, хто будзе навучаць і выхоўваць малодшых школьнікаў. Ім ледзь не патрэбна сучасная літаратура, з улікам апошніх дасягненняў псіхалагічнай і педагагічнай навукі ?!

Выдавецкі цэнтр "Акадэмія" ў супрацоўніцтве з Міністэрствам адукацыі і РАТ падрыхтаваў некалькі выдавецкіх праграм, якія, паводле задумы іх стваральнікаў, як раз і запоўняць ўтварыліся лакуны ў навучальным кнігавыдаўніцтве. У ліку гэтых праграм - "Псіхалагічная служба адукацыі", "Здароўе дзяцей - будучыня Расеі", "Літаратура для сярэдніх і вышэйшых педагагічных навучальных устаноў" ( "Дашкольная адукацыя", "Выкладанне ў пачатковых класах" і інш.). "Акадэмія" свядома ідзе на рызыку - сабраць вялікі тыраж па ўказаных напрамках сёння амаль немагчыма. Надзея ў выдавецтва толькі на якасць сваіх падручнікаў - змястоўнае і паліграфічнае.

Лідзія Андрэева

NB!

Сістэматызаваць і пашырыць веды выкладчыка логікі, правільна спланаваць ўрокі дапаможа кніга М.И.Панова "Выкладанне логікі ў агульнаадукацыйнай школе. Метадычныя рэкамендацыі" (выдавецтва "Навука і тэхніка").

У ёй даецца разбор рашэнняў тыпавых задач, аналіз магчымых цяжкасцяў, схемы і прыклады з мастацкай літаратуры.

Аўтар кнігі - Міхаіл Іванавіч паноў (род. Ў 1947 г.), доктар філасофскіх навук (тэма доктарскай дысертацыі "Метадалагічныя праблемы інтуіцыйнай матэматыкі", абаронена ў 1986 г.), прафесар кафедры філасофіі гуманітарных факультэтаў Маскоўскага дзяржаўнага універсітэта им.М.В. Ламаносава; кіраўнік часовага творчага калектыву "Дзелавая камунікацыя" Інстытута дзяржаўнага кіравання і сацыяльных даследаванняў МДУ им.М.В.Ломоносова; прафесар кафедры логікі Маскоўскага дзяржаўнага лінгвістычнага універсітэта. На працягу некалькіх гадоў выкладае логіку і рыторыку ў універсітэцкім гуманітарным ліцэі пры МДУ им.М.В.Ломоносова, у 1521-й маскоўскай гімназіі.

М.И.Панов таксама з'яўляецца адным з аўтараў наступных выданняў: 1) Логіка: Проста аб складаным (Слоўнік). - М., 1990 (на англійскай мове) і 1991 (на іспанскай); 2) Логіка ў пытаннях і адказах (Вопыт папулярнага навучальнага дапаможніка). - М., 1991; 3) Логіка: падручнік для навучэнцаў 10-11 класаў. - М., 1992; 4) Логіка: Папулярны падручнік: У 2 частках. - М., 1992; 5) Навука пераконваць: Логіка і рыторыка ў пытаннях і адказах. - М., 1992; 6) Логіка: Падручнік для 10-11 класаў ліцэяў, гімназій, школ з паглыбленым вывучэннем гуманітарных дысцыплін. - М. 1995; 7) Уводзіны ў логіку: Вучэбны дапаможнік для настаўніка і бацькоў. - М. 1995.

Нішто не можа разварушыць да канца розум чалавека, калі адсутнічае мара.

Генры Тэйлар