Bez tytułu

Geometria

Zasada Cavalieri

Wydawnictwo „Oświecenie” wydało nowy podręcznik dla klas humanitarnych „Geometria, 10-11”.

Autorem podręcznika jest profesor nadzwyczajny Wydziału Metodologii Nauczania w Państwowym Uniwersytecie Pedagogicznym w Moskwie, doktor nauk pedagogicznych Irina Mikhailovna Sigienova jest doświadczonym metodologiem z długą historią nauczania w szkole, w tym w klasach humanitarnych.

Podręcznik obejmuje wszystkie główne tematy programu w geometrii dla klas 10-11. Jednak w porównaniu z tradycyjnym przebiegiem stereometrii w tym podręczniku, materiał jest opisany bardziej ogólnie. Liczba zapamiętanych twierdzeń z dowodami i problemami związanymi z technikami obliczeniowymi została zmniejszona. Większość zadań, takich jak cały kurs, ma na celu rozwijanie wyobraźni przestrzennej uczniów.

Wraz z klasycznymi tematami autor przedstawia materiał o ogromnym znaczeniu rozwojowym: historię rozwoju geometrii, jej praktyczne znaczenie („O kształcie i wielkości Ziemi”, „Kryształy są naturalnymi wielościanami”, „Wielościany w problemach optymalizacyjnych”), połączenie geometrii z architekturą i malarstwem („Złota sekcja”, „Symetria figur przestrzennych”), obiecujące kierunki współczesnej geometrii („Wielościany topologicznie regularne”, „Współrzędne biegunowe”, „Współrzędne sferyczne”).

Ilustracyjny materiał podręcznika, organicznie związany z narracją, obejmuje, oprócz obowiązkowej geometrii rysunków, szereg reprodukcji arcydzieł architektury, rzeźby, malarstwa, rysunku.

Autor czasami ujawnia tradycyjne tematy w nieoczekiwany sposób. Tak więc w istniejących podręcznikach dotyczących stereometrii stosuje się złożony aparat matematyczny do wyprowadzania wzorów dla objętości prostokątnego równoległościanu, piramidy, kuli, w oparciu o koncepcję rachunku granicznego i całkowego, co sprawia, że ​​materiał ten jest trudno dostępny dla studentów klas humanitarnych. Autor proponuje zamiast tego zastosowanie tak zwanej zasady Cavalieri, która jest dość ilustracyjna i pozwala nam wyprowadzić wszystkie niezbędne formuły głośności bez użycia pojęcia rachunku granicznego lub całkowego. Poniżej znajduje się podsumowanie tematu „Tomy liczb przestrzennych”.

Tatyana BURMISTROVA, Kierownik Redakcji Matematyki wydawnictwa „Prosveschenie”

1. Objętość figur w przestrzeni. Objętość cylindra

Tutaj rozważamy problem pomiaru wielkości liczb przestrzennych. Odnotowuje się jego długą historię, podaje się różne jednostki miary objętości. Objętość figury przestrzennej jest definiowana jako liczba wskazująca, ile razy jednostka miary objętości pasuje do danej figury. Wskazuje się, że liczba może być naturalna, racjonalna, a nawet rzeczywista, ale niekoniecznie negatywna. Wymienione właściwości objętości, które można przyjąć dla aksjomatów:

- objętość figury w przestrzeni jest liczbą nieujemną;

- objętość sześcianu z krawędzią 1 jest równa jeden;

- równe liczby mają równe objętości;

- jeśli figura F składa się z dwóch cyfr F1 i F2, to objętość figury F jest równa sumie objętości liczb F1 i F2.

Następnie rozważamy kwestię obliczenia objętości bezpośredniego cylindra, którego podstawą jest figura F obszaru S, a wysokość cylindra jest równa h. Ponieważ jednostka pomiaru powierzchni mieści się w czasach S bazy, a jednostka pomiaru długości mieści się na wysokości h razy, stwierdza się, że jednostka objętości powinna mieścić się w obrębie Sh razy cylindra, tj. Wzór na objętość prostego cylindra to:

V = Sh

W szczególności objętość prostokątnego równoległościanu z krawędziami a, b, c oblicza się według wzoru V = abc

Objętość prostego pryzmatu z obszarem bazowym S i wysokością h oblicza się według wzoru V = Sh

Objętość prostego cylindra kołowego, którego wysokość jest równa h, a promień podstawy R jest obliczana za pomocą wzoru V = pR2.h.

Zadania

Krawędzie prostokątnego równoległościanu wynoszą 3,4 m, 4,5 mi 2,1 m. Znajdź objętość równoległościanu.

Używając właściwości objętości, pokaż, że jeśli figura F1 jest zawarta na figurze F, to nierówność V (F1) <= V (F) utrzymuje się.

Znajdź wzór na objętość zwykłego pryzmatu n-kątowego z bokiem podstawy a i wysokością h.

Przez punkt koła podstawy prostego cylindra kołowego o promieniu podstawy R, do tej podstawy została narysowana płaszczyzna pod kątem [[Greekj]] i przecięta boczna powierzchnia cylindra. Znajdź objętość części cylindra, odciętą przez tę płaszczyznę.

Reprezentując sześcian z krawędzią złożoną z regularnych czterowęglowych piramid z wierzchołkami w środku sześcianu, znajdź objętość jednej z tych piramid.

2. Zasada Cavalieri

Zasada Cavalieri jest sformułowana w następujący sposób:

Jeśli na przecięciu dwóch figur w przestrzeni przez płaszczyzny równoległe do tej samej płaszczyzny, uzyskuje się figurki tego samego obszaru w sekcjach, to objętości oryginalnych figur przestrzennych są równe.

Aby uzasadnić tę zasadę, przedstawmy figury F1 i F2 złożone z cienkich warstw o ​​tej samej grubości, które są uzyskiwane na odcinkach figur F1 i F2 przez równoległe płaszczyzny.

Biorąc pod uwagę warstwy jako cylindry bezpośrednie, z równości obszarów ich podstaw i równości wysokości, otrzymujemy, że objętości odpowiednich warstw są również równe. W związku z tym wielkości figur F1 i F2 składających się z tych warstw są również równe.

Stosując tę ​​zasadę, znajdujemy objętość nachylonego cylindra z podstawą F o powierzchni S i wysokości h. Aby to zrobić, zastanów się nad prostym cylindrem o tej samej podstawie i wysokości i ułóż te cylindry, aby ich podstawy znajdowały się w tej samej płaszczyźnie. Następnie sekcje tych cylindrów z płaszczyznami równoległymi do tej płaszczyzny dadzą liczby równe figurze F. W konsekwencji, sekcje te mają równe obszary. Zgodnie z zasadą Cavalieri oznacza to równość objętości cylindra, a zatem dla objętości nachylonego cylindra zachodzi formuła V = Sh, gdzie S jest obszarem podstawy, h jest wysokością.

Stosując zasadę Cavalieri, podobnie pokazano, że jeśli dwa stożki mają równe wysokości i podstawy równej powierzchni, to mają równe objętości. (Stożek jest przestrzenną postacią utworzoną przez segmenty łączące punkty pewnej płaskiej figury F, zwanej podstawą stożka i punktem N, zwanym wierzchołkiem stożka, leżącym poza płaszczyzną podstawy).

Zadania

Znajdź wzór na objętość nachylonego pryzmatu, którego obszar podstawy jest równy S, a krawędź boczna b jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem [[Greekj]].

Znajdź wzór na objętość nachylonego cylindra kołowego, którego promień podstawy jest równy R, a generator L jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem [[Greekj]].

Załóżmy, że na odcinkach figur przestrzennych F1 i F2 uzyskuje się równoległe płaszczyzny, figury F1 i F2, a obszary figur F1 są k razy odpowiadające im obszary figur F2. W jaki sposób są powiązane wielkości liczb F1 i F2? Uzasadnij swój wniosek.

3. Objętość stożka

Wyprowadzono tutaj wzór na objętość stożka, a zwłaszcza wzory objętości piramidy i stożka kołowego. Najpierw rozpatruje się przypadek trójkątnej piramidy. Niech ABCA1 będzie trójkątną piramidą. Uzupełniamy go w trójkątny pryzmat ABCA1B1C1.

Płaszczyzny przechodzące przez punkty B, C, A1 i C, B1, A1 dzielą ten pryzmat na trzy piramidy ABCA1, CBB1A1, CB1C1A1 z wierzchołkami w punkcie A1. Piramidy CBB1A1, CB1C1A1 mają równe podstawy CBB1, CB1C1, ponieważ przekątna CB1 dzieli równoległobok CBC1B1 na dwa równe trójkąty. Ponadto piramidy te mają wspólny wierzchołek, a zatem całkowitą wysokość. Oznacza to, że te piramidy mają równe objętości. Piramidy ABCA1 i CB1C1A1 mają również równe zasady ABC, A1B1C1 i równe wysokości. Oznacza to, że te piramidy mają również równe objętości. Tak więc objętości wszystkich trzech piramid są równe. Biorąc pod uwagę, że objętość pryzmatu jest równa iloczynowi powierzchni podstawy i wysokości, otrzymujemy wzór na objętość trójkątnej piramidy:

V = 1 / 3.Sh, gdzie S jest obszarem podstawy, h jest wysokością.

Rozważamy teraz dowolny stożek z obszarem bazowym S i wysokością h. Pokazujemy, że jego objętość jest również wyrażona wzorem V = 1 / 3.Sh. Aby to zrobić, weź jakąś trójkątną piramidę z podstawą obszaru S i wysokości h. Ta piramida i stożek mają równe objętości i dlatego wymagana formuła jest spełniona. W szczególności formuła ta dotyczy piramidy wielokątnej i okrągłego stożka.

Zadania

Znajdź wzór na objętość zwykłej piramidy o kącie prostym z boku podstawy i wysokości h.

Znajdź wzór na objętość zwykłej piramidy o kącie prostym z bokiem podstawy a i krawędzią boczną b.

Znajdź wzór na objętość okrągłego stożka o wysokości h i promieniu podstawy R.

Znajdź wzór na objętość ściętego stożka z podstawami S1 i S2 oraz wysokością h.

Znajdź objętość czworościanu o krawędzi równej jeden.

Znajdź objętości innych regularnych wielościanów o krawędziach równych jeden.

Przepisy „Akademia”

Nie jest tajemnicą, że tylko 10-15% absolwentów szkół średnich można dziś uznać za „praktycznie zdrowych”. A jak leczyć społeczeństwo, w którym prawie nie ma zdrowych dzieci?

Jednym z przepisów jest szkolenie nauczycieli, którzy mogą pracować w zmienionych warunkach. Ale każda teoria pedagogiczna, technologia z czasem jest zawarta w podręczniku. Najpierw dla nauczyciela, potem dla ucznia. Tym bardziej zaskakująco, w ciągu ostatnich 10 lat w 362 rosyjskich szkołach i szkołach pedagogicznych prawie nic nie zostało opublikowane! Stare kopie - 300-900 tys. Egzemplarzy spadły do ​​10-15 tys. I stały się nieopłacalne. Studenci są szkoleni według starych korzyści, które zostały zachowane od lat 80-tych. Ale absolwenci szkół pedagogicznych to ci, którzy będą szkolić i kształcić młodszych uczniów. Czy nie potrzebują nowoczesnej literatury, biorąc pod uwagę najnowsze osiągnięcia nauki psychologicznej i pedagogicznej?

Centrum wydawnicze Akademiya, we współpracy z Ministerstwem Edukacji i RW, przygotowało kilka programów wydawniczych, które zgodnie z planem ich twórców wypełnią luki w wydawnictwie edukacyjnym. Programy te obejmują „Psychologiczną służbę edukacji”, „Zdrowie dzieci - przyszłość Rosji”, „Literatura dla średnich i wyższych pedagogicznych instytucji edukacyjnych” („Edukacja przedszkolna”, „Nauczanie w klasach podstawowych” itp.). „Akademia” świadomie podejmuje ryzyko - zbieranie dużych nakładów w tych obszarach jest prawie niemożliwe. Nadzieję, że wydawca tylko na jakość swoich podręczników - znaczące i drukowanie.

Lydia ANDREYEVA

Uwaga!

Aby usystematyzować i poszerzyć wiedzę nauczyciela logiki, książka MI Panova „Nauczanie logiki w kompleksowej szkole. Metodyczne zalecenia” (wydawnictwo „Oświecenie”) pomoże zaplanować lekcje.

Zawiera analizę rozwiązań typowych problemów, analizę możliwych trudności, schematów i przykładów z fikcji.

Autorem książki jest Michaił Iwanowicz PANOV (ur. 1947), doktor filozofii (tematem jego rozprawy doktorskiej jest „Metodologiczne problemy matematyki intuicjonistycznej”, obroniony w 1986 r., Profesor Wydziału Filozofii Wydziałów Humanitarnych Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego. Łomonosow; szef tymczasowego zespołu kreatywnego „Komunikacja biznesowa” Instytutu Administracji Publicznej i Badań Społecznych Uniwersytetu Moskiewskiego im. MV Łomonosowa; Profesor, Wydział Logiki, Państwowy Uniwersytet Lingwistyczny w Moskwie. Od kilku lat uczy logiki i retoryki na Uniwersyteckim Liceum Humanistycznym pod Moskiewskim Uniwersytetem Państwowym im. M. Łomonosowa w moskiewskim gimnazjum z 1521 roku.

M.I.Panov jest również jednym z autorów następujących publikacji: 1) Logic: Just about the complex (Słownik). - M., 1990 (w języku angielskim) i 1991 (w języku hiszpańskim); 2) Logika w pytaniach i odpowiedziach (doświadczenie popularnego narzędzia edukacyjnego). - M., 1991; 3) Logika: podręcznik dla uczniów klas 10-11. - M., 1992; 4) Logika: Popularny poradnik: w 2 częściach. - M., 1992; 5) Nauka, aby przekonać: Logika i retoryka w pytaniach i odpowiedziach. - M., 1992; 6) Logika: podręcznik dla 10-11 klas szkół średnich, gimnazjów, szkół z pogłębionymi studiami dyscyplin humanitarnych. - M., 1995; 7) Wprowadzenie do logiki: samouczek dla nauczyciela i rodzica. - M., 1995.

Nic nie może poruszyć umysłu osoby do końca, jeśli nie ma snu.

Henry Taylor