Without a title

геометрія

принцип Кавальєрі

У видавництві "Просвіта" вийшов новий підручник для гуманітарних класів "Геометрія, 10-11".

Автор підручника - доцент кафедри методики викладання математики МПДУ, доктор педагогічних наук Ірина Михайлівна с╝і╡нова - досвідчений методист з великим стажем викладання в школі, в тому числі в гуманітарних класах.

Підручник охоплює всі основні теми програми з геометрії для 10-11-х класів. Однак у порівнянні з традиційним курсом стереометрії в даному підручнику матеріал викладено більш узагальнено. Скорочено кількість заучувати теорем з доказами і завдань, пов'язаних з технікою обчислень. Більшість завдань, як і весь курс, спрямований на розвиток просторової уяви учнів.

Поряд з класичними темами автор вводить матеріал, що має величезне розвиваюче значення: історія розвитку геометрії, її прикладне значення ( "Про форму і розміри Землі", "Кристали - природні багатогранники", "Багатогранники в задачах оптимізації"), зв'язок геометрії з архітектурою і живописом ( "Золотое сечение", "Симетрія просторових фігур"), перспективні напрямки сучасної геометрії ( "Топологічно правильні багатогранники", "Полярні координати", "Сферичні координати").

Ілюстративний матеріал підручника, органічно пов'язаний з розповіддю, включає, крім обов'язкових по геометрії креслень, цілий ряд репродукцій шедеврів архітектури, скульптури, живопису, малюнка.

Традиційні теми автор розкриває часом несподіваним чином. Так, в діючих підручниках з стереометрії при виведенні формул обсягів прямокутного паралелепіпеда, піраміди, кулі застосовується складний математичний апарат, заснований на використанні поняття межі і інтегрального числення, що робить цей матеріал важкодоступним для учнів гуманітарних класів. Автор пропонує використовувати замість цього так званий принцип Кавальєрі, що є досить наочним і дозволяє вивести всі необхідні формули обсягів без використання поняття межі або інтегрального числення. Нижче наводимо стислий виклад теми "Обсяги просторових фігур".

Тетяна Бурмістрова, зав.редакціей математики видавництва "Просвещение"

1. Об'єм фігур в просторі. Об'єм циліндра

Тут розглядається проблема вимірювання обсягів просторових фігур. Відзначається її давня історія, наводяться різні одиниці вимірювання обсягів. Об'єм просторової фігури визначається як число, що показує, скільки разів одиниця вимірювання об'єму укладається в даній фігурі. Вказується, що число може бути натуральним, раціональним або навіть дійсним, але обов'язково невід'ємним. Перераховуються властивості обьема, які можуть прийматися за аксіоми:

- об'єм фігури в просторі є невід'ємним числом;

- об'єм куба з ребром 1 дорівнює одиниці;

- рівні фігури мають рівні обсяги;

- якщо фігура F складена з двох фігур F1 і F2, то обсяг фігури F дорівнює сумі обсягів фігур F1 і F2.

Потім розглядається питання про обчислення обсягу прямого циліндра, підставою якого служить фігура F площі S, і висота циліндра дорівнює h. Оскільки одиниця виміру площі укладається в основу S раз, а одиниця вимірювання довжини укладається в висоті h раз, то з цього робиться висновок, що одиниця вимірювання об'єму повинна укладатися в циліндрі Sh раз, тобто формула об'єму прямого циліндра має вигляд:

V = Sh

Зокрема, обсяг прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b, c обчислюється за формулою V = abc

Об'єм прямої призми з площею підстави S і висотою h обчислюється за формулою V = Sh

Об'єм прямого кругового циліндра, висота якого дорівнює h і радіус підстави R, обчислюється за формулою V = pR2.h.

завдання

Ребра прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 3,4 м, 4,5 м і 2,1 м. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

Використовуючи властивості обьема, покажіть, що якщо фігура F1 міститься в фігурі F, то має місце нерівність V (F1) <= V (F).

Знайдіть формулу обьема правильної n-вугільної призми зі стороною підстави а й висотою h.

Через точку кола основи прямого кругового циліндра з радіусом основи R проведена площину під кутом [[Greekj]] до цього підстави і перетинає бічну поверхню циліндра. Знайдіть об'єм частини циліндра, що відсікається цією площиною.

Представляючи куб з ребром а, складеним з правильних чотирьох-вугільних пірамід з вершинами в центрі куба, знайдіть об'єм однієї з таких пірамід.

2. Принцип Кавальєрі

Принцип Кавальєрі формулюється так:

Якщо при перетині двох фігур в просторі площинами, паралельними одній і тій же площині, в перетинах виходять фігури однакової площі, то обсяги вихідних просторових фігур рівні.

Для обгрунтування принципу представимо фігури F1 і F2 складеними з тонких шарів однакової товщини, які виходять в перетинах фігур F1 і F2 паралельними площинами.

Вважаючи шари прямими циліндрами, з рівності площ їх підстав і рівності висот отримуємо, що рівні та обсяги відповідних верств. Отже, рівні і обсяги фігур F1 і F2, складені з цих шарів.

Застосовуючи цей принцип, знайдемо об'єм похилого циліндра з основою F площі S і висотою h. Для цього розглянемо прямий циліндр з таким же підставою і висотою і розташуємо ці циліндри так, щоб їх підстави знаходилися в одній площині. Тоді перетину цих циліндрів площинами, паралельними цій площині, дадуть фігури, рівні фігури F. Отже, ці перетину мають рівні площі. За принципом Кавальєрі, звідси випливає рівність обсягів циліндрів, і, отже, для обьема похилого циліндра має місце формула V = Sh, де S - площа підстави, h - висота.

Використовуючи принцип Кавальєрі, аналогічним чином показують, що якщо два конуса мають рівні висоти і підстави рівною площі, то вони мають і рівні об'єми. (Під конусом розуміється просторова фігура, утворена відрізками, що з'єднують точки деякої плоскої фігури F, званої підставою конуса, і точкою N, званої вершиною конуса, що лежить поза площиною підстави).

завдання

Знайдіть формулу обьема похилій призми, площа підстави якої дорівнює S, а бічне ребро b нахилене до площини основи під кутом [[Greekj]].

Знайдіть формулу обьема похилого кругового циліндра, радіус основи якого дорівнює R, а утворює L нахилена до площини основи під кутом [[Greekj]].

Нехай в перетинах просторових фігур F1 і F2 паралельними площинами виходять фігури F1 і F2, причому площі фігур F1 в k разів більше відповідних площ фігур F2. Як пов'язані між собою обсяги фігур F1 і F2? Обгрунтуйте свою висновок.

3. Об'єм конуса

Тут виводиться формула об'єму конуса, і зокрема формули обсягів піраміди і кругового конуса. Спочатку розглядається випадок трикутної піраміди. Нехай АВСА1 - трикутна піраміда. Добудуємо її до трикутної призми АВСА1В1С1.

Площині, що проходять через точки В, С, А1 і С, В1, А1, розбивають цю призму на три піраміди АВСА1, СВВ1А1, СВ1С1А1 з вершинами в точці А1. Піраміди СВВ1А1, СВ1С1А1 мають рівні підстави СВВ1, СВ1С1, так як діагональ СВ1 розбиває паралелограм СВС1В1 на два рівних трикутника. Крім цього, у цих пірамід загальна вершина і, отже, загальна висота. Значить, ці піраміди мають рівні об'єми. Піраміди АВСА1 і СВ1С1А1 також мають рівні підстави АВС, А1У1С1 і рівні висоти. Значить, ці піраміди також мають рівні об'єми. Таким чином, обсяги всіх трьох пірамід рівні. З огляду на, що обсяг призми дорівнює добутку площі підстави на висоту, отримуємо формулу обьема трикутної піраміди:

V = 1 / 3.Sh, де S - площа підстави, h - висота.

Розглянемо тепер довільний конус з площею підстави S і висотою h. Покажемо, що його обсяг також виражається формулою V = 1 / 3.Sh Для цього візьмемо якусь трикутну піраміду з підставою площі S і висотою h. Ця піраміда і конус мають рівні об'єми, і, отже, необхідна формула виконується. Зокрема, ця формула справедлива для багатокутної піраміди і кругового конуса.

завдання

Знайдіть формулу обьема правильної n-вугільної піраміди зі стороною основи а і висотою h.

Знайдіть формулу обьема правильної n-вугільної піраміди зі стороною основи а і бічним ребром b.

Знайдіть формулу обьема кругового конуса висотою h і радіусом підстави R.

Знайдіть формулу обьема усіченого конуса з підставами площі S1 та S2 і висотою h.

Знайдіть об'єм тетраедра з ребром, рівним одиниці.

Знайдіть обсяги інших правильних багатогранників з ребрами, рівними одиниці.

Рецепти "Академії"

Не секрет, що тільки 10-15% випускників шкіл можуть вважатися сьогодні "практично здоровими". А як зцілити суспільство, в якому майже немає здорових дітей?

Один з рецептів - підготовка вчителів, здатних працювати в умовах, що змінилися. Але будь-яка педагогічна теорія, технологія згодом втілюється в підручнику. Спочатку - для вчителя, потім - для учня. І тим більше дивно, що за останні 10 років для 362 російських педколеджів і педучилищ майже нічого не видавалося! Колишні тиражі - 300-900 тис. Примірників впали до 10-15 тисяч і стали невигідними. Навчання студентів йде за старими, що збереглися ще з 80-х років посібниками. А адже випускники педучилищ - це ті, хто буде навчати і виховувати молодших школярів. Чи їм не потрібна сучасна література, з урахуванням останніх досягнень психологічної та педагогічної науки ?!

Видавничий центр "Академія" у співпраці з Міністерством освіти і РАО підготував кілька видавничих програм, які, за задумом їх творців, як раз і заповнять утворилися лакуни в навчальному книговиданні. У числі цих програм - "Психологічна служба освіти", "Здоров'я дітей - майбутнє Росії", "Література для середніх і вищих педагогічних навчальних закладів" ( "Дошкільна освіта", "Викладання в початкових класах" і ін.). "Академія" свідомо йде на ризик - зібрати великий тираж за вказаним напрямком сьогодні майже неможливо. Надія у видавництва тільки на якість своїх підручників - змістовне та поліграфічне.

Лідія АНДРЄЄВА

NB!

Систематизувати і розширити знання викладача логіки, правильно спланувати уроки допоможе книга М.І.Панова "Викладання логіки в загальноосвітній школі. Методичні рекомендації" (видавництво "Просвіта").

У ній дається розбір рішень типових задач, аналіз можливих труднощів, схеми і приклади з художньої літератури.

Автор книги - Михайло Іванович ПАНОВ (рід. В 1947 р), доктор філософських наук (тема докторської дисертації "Методологічні проблеми интуиционистской математики", захищена в 1986 р), професор кафедри філософії гуманітарних факультетів Московського державного університету ім.М.В. Ломоносова; керівник тимчасового творчого колективу "Ділова комунікація" Інституту державного управління та соціальних досліджень МДУ им.М.В.Ломоносова; професор кафедри логіки Московського державного лінгвістичного університету. Протягом декількох років викладає логіку і риторику в Університетському гуманітарному ліцеї при МГУ им.М.В.Ломоносова, в 1521-й московської гімназії.

М.І.Панов також є одним з авторів наступних видань: 1) Логіка: Просто про складне (Словник). - М., 1990. (англійською мовою) і 1991 (на іспанській); 2) Логіка в питаннях і відповідях (Досвід популярного навчального посібника). - М., 1991; 3) Логіка: Навчальний посібник для учнів 10-11 класів. - М., 1992; 4) Логіка: Популярний підручник: У 2 частинах. - М., 1992; 5) Наука переконувати: Логіка і риторика в питаннях і відповідях. - М., 1992; 6) Логіка: Підручник для 10-11 класів ліцеїв, гімназій, шкіл з поглибленим вивченням гуманітарних дисциплін. - М., 1995; 7) Введення в логіку: Навчальний посібник для вчителя і батька. - М., 1995.

Ніщо не може розворушити до кінця розум людини, якщо відсутня мрія.

Генрі ТЕЙЛОР